Регистрация пользователей. Меняем порядок полей через result_modifier.php

<?if(!defined("B_PROLOG_INCLUDED") || B_PROLOG_INCLUDED!==true);

 // Function for order
 function sortArray($arSource, $arOrder, $arUserFields = Array()) {
    $arFirst       = Array();
    $arUserProps   = Array();
    if(count($arUserFields)) {
       foreach($arUserFields as $keyFiels=>$arField) {
          $arUserProps[] = $keyFiels;
       }
    }
    $arUsedFields = array_merge($arSource, $arUserProps);

    foreach($arOrder as $sField) {
       if(in_array($sField, $arUsedFields)) {
          $arFirst[] = $sField;

          foreach($arUsedFields as $keySource=>$sSource) {
             if($sSource == $sField) {
                unset($arUsedFields[$keySource]);
             }
          }
       }
    }

    $arResult = array_merge($arFirst, $arUsedFields);

    return $arResult;
 }
 
 // Set array of order fields
 $arOrder = Array(
    "NAME",
    "PERSONAL_PHONE",
    "EMAIL",
    "UF_PERSON",
    "PASSWORD",
    "CONFIRM_PASSWORD"
 );

 // Order of array
 $arResult["SHOW_FIELDS"] = sortArray($arResult["SHOW_FIELDS"], $arOrder, $arResult["USER_PROPERTIES"]["DATA"]);

template.php, на случай, если используются пользовательские поля:

...
<?if(GetMessage("REGISTER_FIELD_".$FIELD)):?>
    <tr>
       <td><?=GetMessage("REGISTER_FIELD_".$FIELD)?>:<?if ($arResult["REQUIRED_FIELDS_FLAGS"][$FIELD] == "Y"):?><span class="starrequired">*</span><?endif?></td>
     </tr>
 <?endif;?> 
 ...
 default:
    if(strstr($FIELD, "UF_")) {
       $arUserField = $arResult["USER_PROPERTIES"]["DATA"][$FIELD];
       ?>
          <tr>
             <td>
                <?=$arUserField["EDIT_FORM_LABEL"]?>:<?if ($arUserField["MANDATORY"]=="Y"):?><span class="starrequired">*</span><?endif;?>
             </td>
          </tr>
          <tr>
             <td>
                <?$APPLICATION->IncludeComponent(
                   "bitrix:system.field.edit",
                   $arUserField["USER_TYPE"]["USER_TYPE_ID"],
                   array("bVarsFromForm"=>$arResult["bVarsFromForm"],"arUserField"=>$arUserField,"form_name"=>"regform"), null, array("HIDE_ICONS"=>"Y"));?>
             </td>
          </tr>
       <?
       } else {
          if ($FIELD == "PERSONAL_BIRTHDAY")
 ...  

 <?if($arResult["USER_PROPERTIES"]["SHOW"] == "Y" && false):?>

Здесь я обозначил ключевые моменты, думаю, будет понятно что на что менять. 

Как формируется порядок полей штатно - я не нашел. Подозреваю, что он жестко прописан в ядре или компоненте. 
В идеале, конечно, добавить в .parameters.php и как-то там указывать порядок, но пока не придумал, как лучше это сделать.